AI 在最不擅長的數(shù)學方面，這次大幅刷新了最好成績。

其中關鍵角色是 OpenAI 給 Lean 做的一個定理證明器。

聽起來有點耳熟？沒錯，就是去年參加國際數(shù)學奧林匹克競賽（IMO）的“非人”選手 Lean~

自從 2013 年微軟研究院推出 Lean 以來，就一直嘗試讓 AI 在數(shù)學命題證明這方面取得進展。

而這次也確實得到了回報，OpenAI 新做的這個定理證明器讓它學會了解決一部分有難度的高中奧數(shù)題，包括美國的數(shù)學競賽 AMC12、AIME 甚至是國際奧數(shù)競賽中的題。

它首先會用語言模型將數(shù)學問題轉化為另一種形式，列出隱藏的條件和已知信息，然后來推理求證。

雖然在剛開始效果并不明顯，只能證明幾個命題。但是在不斷地搜索新的證明，經(jīng)過八次迭代之后，在 miniF2F 測試中，成功地把分數(shù)從 29.3% 刷到了 41.2%。

我們來看看這 AI 是怎么在奧數(shù)題上施展拳腳的。

AI如何做奧數(shù)題

先來看一個簡單的問題熱熱身：

對于所有大于等于 9 的整數(shù) n，證明下圖中的式子是一個完全平方數(shù)。

按照普通人的思考方式，可以先把式中分子提出一個 n 的階乘，與分母約去。

然后分子化簡為（n+1）²。這在形式上就是一個完全平方數(shù)，問題得證。

那AI是怎么做的呢？

它首先從文本中提取了條件和已知信息，例如 n 是整數(shù)、n 大于等于 9。

接下來，它把需要證明的問題換了一種說法，改為：

存在一個整數(shù) x，使 x²和原式相等。

然后在解題的過程中，完全由模型直接生成了一個數(shù)學項“n+1”作為一個解：use n+1。接下來再去驗證這個解是否成立。

如果沒有語言模型，這是不可能做到的。

這么看來這模型能耐了，還有了一些數(shù)學想法，再拿一道國際奧賽的改編題來考考它：

設 a、b、c 是一個三角形的三條邊，證明 a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤3abc。

同樣地，AI 還是先把條件都列出來。不過這次還列出了與三角形有關的隱藏條件：

a、b、c 都是大于 0 的實數(shù)，并且有任意兩邊之和大于第三邊。

然后模型還自創(chuàng)了一個方法，列出了（b-a）、（c-b）、（c-a），看起來好像不明所以。

但是如果把目標式子展開，你就會發(fā)現(xiàn)這三項正是舒爾不等式的幾個對稱項：

根據(jù)舒爾不等式，對所有非負實數(shù) x、y、z 和正數(shù) t，都有：

當 t=1 時，這和奧數(shù)題中的形式完全一樣，命題得證。

這么看來，AI 這水平著實不簡單啊，要構造出這種效果可絕非易事。

對奧數(shù)下手的難點

讓 AI 來做奧數(shù)，確實比學生自己磕高數(shù)題難多了。

這第一個難點就是，模型不是從有限的選項中做選擇。要是像下圍棋那樣，格點就那么多，選擇空間有限，還好說一點。

但是做奧數(shù)，模型要從一組復雜的無限策略中做選擇，期間還要生成一些數(shù)學中的術語，例如“存在”、“任意”等。

針對這個難點，OpenAI 通過在搜索證明方法時從語言模型中采樣來解決。

而第二點就是模型缺乏自我對抗和博弈。做奧數(shù)題和雙人游戲不同，它不是和另一個玩家比賽，而是要證明一個數(shù)學命題。

這樣一來在雙人游戲上成功的算法就不能遷移過來。

為了解決這個問題，研究人員提供了一套不同難度“教輔資料”，用來輔助描述問題而不需要證明。

當這些輔助的描述難度越來越大時，模型就能解決越來越難的問題。

不過這兩個難點，反倒可以成為它的優(yōu)勢。

一方面，因為這類數(shù)學命題的證明就是需要推理，需要無限的創(chuàng)造力和洞察力。

另一方面，這種輔助描述式的方法也有助于 AI 自動推理的發(fā)展。

說不好，將來深度學習模型還能征服奧數(shù)這座高山。

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